Precalcolo Esempi

$(\sqrt{3} + \sqrt{15} i) (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Passaggio 1

Espandi $(\sqrt{3} + \sqrt{15} i) (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3 + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{15} i)$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$3 - \sqrt{3 \cdot 15} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.5.2

Moltiplica $3$ per $15$ .

$3 - \sqrt{45} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $45$ come $3^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 2.1.6.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$3 - \sqrt{9 (5)} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.6.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot 5} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$3 - (3 \sqrt{5}) i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $\sqrt{15} i \sqrt{3}$ .

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Passaggio 2.1.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{3 \cdot 15} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.9.2

Moltiplica $3$ per $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{45} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi $45$ come $3^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 2.1.10.1

Scomponi $9$ da $45$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{9 (5)} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.10.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{3^{2} \cdot 5} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Passaggio 2.1.12

Moltiplica $\sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$ .

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Passaggio 2.1.12.1

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) i)$

Passaggio 2.1.12.2

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) i)$

Passaggio 2.1.12.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- {\sqrt{15}}^{1 + 1} i)$

Passaggio 2.1.12.4

Somma $1$ e $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- {\sqrt{15}}^{2} i)$

Passaggio 2.1.12.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} (i^{1} i)$

Passaggio 2.1.12.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Passaggio 2.1.12.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} i^{1 + 1}$

Passaggio 2.1.12.8

Somma $1$ e $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} i^{2}$

Passaggio 2.1.13

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

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Passaggio 2.1.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Passaggio 2.1.13.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Passaggio 2.1.13.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Passaggio 2.1.13.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.13.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Passaggio 2.1.13.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{1} i^{2}$

Passaggio 2.1.13.5

Calcola l'esponente.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 1 \cdot 15 i^{2}$

Passaggio 2.1.14

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15 i^{2}$

Passaggio 2.1.15

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.16

Moltiplica $- 15$ per $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + 15$

Passaggio 2.2

Somma $3$ e $15$ .

$- 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + 18$

Passaggio 2.3

Somma $- 3 \sqrt{5} i$ e $3 \sqrt{5} i$ .

$0 + 18$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $18$ .

$18$