Precalcolo Esempi

${(\sqrt{5} - 2 i)}^{5}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

${\sqrt{5}}^{5} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{5}$ come $\sqrt{5^{5}}$ .

$\sqrt{5^{5}} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$\sqrt{3125} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $3125$ come $25^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Scomponi $625$ da $3125$ .

$\sqrt{625 (5)} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.3.2

Riscrivi $625$ come $25^{2}$ .

$\sqrt{25^{2} \cdot 5} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$25 \sqrt{5} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$25 \sqrt{5} + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{2} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $5$ per $5^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $5$ per $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$25 \sqrt{5} + 5^{1} \cdot 5^{2} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$25 \sqrt{5} + 5^{1 + 2} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$25 \sqrt{5} + 5^{3} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$25 \sqrt{5} + 125 (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $- 2$ per $125$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{3}$ come $\sqrt{5^{3}}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 \sqrt{5^{3}} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.10

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 \sqrt{125} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 \sqrt{25 (5)} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.11.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 \sqrt{5^{2} \cdot 5} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.12

Estrai i termini dal radicale.

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 (5 \sqrt{5}) {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $5$ per $10$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.14

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.15

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} (4 i^{2}) + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.16

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} (4 \cdot - 1) + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.17

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} \cdot - 4 + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.18

Moltiplica $- 4$ per $50$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.19.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.19.4.1

Elimina il fattore comune.

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19.4.2

Riscrivi l'espressione.

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5^{1} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19.5

Calcola l'esponente.

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5 {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.20

Moltiplica $10$ per $5$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.21

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.22

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (- 8 i^{3}) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.23

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.24

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.25

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (- 8 (- i)) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.26

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (8 i) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.27

Moltiplica $8$ per $50$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.28

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.29

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.30

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.30.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.30.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.30.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.31

Moltiplica $16$ per $1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.32

Moltiplica $16$ per $5$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} + {(- 2 i)}^{5}$

Passaggio 2.1.33

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Passaggio 2.1.34

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 i^{5}$

Passaggio 2.1.35

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 (i^{4} i)$

Passaggio 2.1.36

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.36.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Passaggio 2.1.36.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Passaggio 2.1.36.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 (1 i)$

Passaggio 2.1.37

Moltiplica $i$ per $1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 i$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $200 \sqrt{5}$ da $25 \sqrt{5}$ .

$- 250 i - 175 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 i$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 250 i$ e $400 i$ .

$150 i - 175 \sqrt{5} + 80 \sqrt{5} - 32 i$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $32 i$ da $150 i$ .

$118 i - 175 \sqrt{5} + 80 \sqrt{5}$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 175 \sqrt{5}$ e $80 \sqrt{5}$ .

$118 i - 95 \sqrt{5}$

Passaggio 2.2.5

Riordina $118 i$ e $- 95 \sqrt{5}$ .

$- 95 \sqrt{5} + 118 i$