Precalcolo Esempi

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}$

Passaggio 1

Dividi usando la divisione di polinomi lunga.

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x$

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 7 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$2 x$	-	$7$
$x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$x$	+	$5$
					-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	+	$5$
							-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$14$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 7 x^{2} - 21 x - 14$

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$7$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$4 x$

$7 x^{2}$

$3 x$

$5$

$7 x^{2}$

$21 x$

$14$

$18 x$

$19$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$2 x - 7 + \frac{18 x + 19}{x^{2} + 3 x + 2}$

Passaggio 2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{18 x + 19}{(x + 1) (x + 2)}$

Passaggio 2.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 2.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(18 x + 19) (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(18 x + 19) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.6.2

Dividi $18 x + 19$ per $1$ .

$18 x + 19 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$18 x + 19 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.7.1.2

Dividi $(A) (x + 2)$ per $1$ .

$18 x + 19 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$18 x + 19 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$18 x + 19 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

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Passaggio 2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$18 x + 19 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 2.7.4.2

Dividi $(B) (x + 1)$ per $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Passaggio 2.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Passaggio 2.7.6

Moltiplica $B$ per $1$ .

$18 x + 19 = A x + 2 A + B x + B$

Passaggio 2.8

Sposta $2 A$ .

$18 x + 19 = A x + B x + 2 A + B$

Passaggio 3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$18 = A + B$

Passaggio 3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$19 = 2 A + B$

Passaggio 3.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

$18 = A + B$

$19 = 2 A + B$

Passaggio 4

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 4.1

Risolvi per $A$ in $18 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 18$ .

$A + B = 18$

$19 = 2 A + B$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

$A = 18 - B$

$19 = 2 A + B$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $18 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $19 = 2 A + B$ con $18 - B$ .

$19 = 2 (18 - B) + B$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $2 (18 - B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$19 = 2 \cdot 18 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $18$ .

$19 = 36 + 2 (- B) + B$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - 2 B + B$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.2.2.1.2

Somma $- 2 B$ e $B$ .

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

$19 = 36 - B$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.3

Risolvi per $B$ in $19 = 36 - B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $36 - B = 19$ .

$36 - B = 19$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $36$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- B = 19 - 36$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $36$ da $19$ .

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

$- B = - 17$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = - 17$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = - 17$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.3.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

$B = \frac{- 17}{- 1}$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Dividi $- 17$ per $- 1$ .

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

$B = 17$

$A = 18 - B$

Passaggio 4.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $17$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 18 - B$ con $17$ .

$A = 18 - (17)$

$B = 17$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica $18 - (17)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $17$ .

$A = 18 - 17$

$B = 17$

Passaggio 4.4.2.1.2

Sottrai $17$ da $18$ .

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

$A = 1$

$B = 17$

Passaggio 4.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = 17$

Passaggio 5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $2 x - 7 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$2 x - 7 + \frac{1}{x + 1} + \frac{17}{x + 2}$