Precalcolo Esempi

$\frac{2}{x^{3} - 1}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3} - 1^{3}}$

Passaggio 1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Passaggio 1.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Passaggio 1.3

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + x + 1)$ per $1$ .

$2 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B x + C) (x - 1)$ per $1$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Passaggio 1.7.5

Espandi $(B x + C) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Passaggio 1.7.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Passaggio 1.7.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.7.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1.1

Sposta $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.7.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.7.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B x$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.7.6.3

Riscrivi $- 1 (B x)$ come $- (B x)$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.7.6.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Passaggio 1.7.6.5

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Passaggio 1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Passaggio 1.8.2

Sposta $B$ .

$2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Passaggio 1.8.3

Sposta $A$ .

$2 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Passaggio 1.8.4

Sposta $A x$ .

$2 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 1 B + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A - 1 C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$A = - B$

$0 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A - 1 B + C$ con $- B$ .

$0 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $(- B) - 1 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$0 = - B - B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- B$ .

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A - 1 C$ con $- B$ .

$2 = (- B) - 1 C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$0 = - 2 B + C$

$A = - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $C$ in $0 = - 2 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 B + C = 0$ .

$- 2 B + C = 0$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

$C = 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $2 = - B - C$ con $2 B$ .

$2 = - B - (2 B)$

$C = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $- B - (2 B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 = - B - 2 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 3.4.2.1.2

Sottrai $2 B$ da $- B$ .

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B$

$C = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 3.5

Risolvi per $B$ in $2 = - 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 B = 2$ .

$- 3 B = 2$

$C = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = 2$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{2}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = 2 B$ con $- \frac{2}{3}$ .

$C = 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Semplifica $2 (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Moltiplica $2 (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$C = - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2.1.1.2

$- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$C = \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.6.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1

Moltiplica $- (- \frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.6.4.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{4}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$x$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}}{x^{2} + x + 1}$