Precalcolo Esempi

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 4}{x^{2} (2 - x)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{2 - x}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (2 - x)$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} (2 - x))}{x^{2} (2 - x)} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} (2 - x))}{x^{2} (2 - x)} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (2 - x)}{2 - x} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x^{2} - 2 x + 4) (2 - x)}{2 - x} = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $3 x^{2} - 2 x + 4$ per $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = \frac{A (x^{2} (2 - x))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A (2 - x)$ per $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = A (2 - x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 \cdot A - A x + \frac{B (x^{2} (2 - x))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (2 - x))$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.5.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{x (B (x (2 - x)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + \frac{B (x (2 - x))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.5.2.5

Dividi $B (x (2 - x))$ per $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (x (2 - x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (x \cdot 2 + x (- x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 \cdot x + x (- x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 \cdot x - x \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.9

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.9.1

Sposta $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x - (x \cdot x)) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.9.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x - x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.10

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + B (2 x) + B (- x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x + B (- x^{2}) + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + \frac{(C) (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.13

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.13.1

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + \frac{C (x^{2} (2 - x))}{2 - x}$

Passaggio 1.5.13.2

Dividi $(C) (x^{2})$ per $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + (C) (x^{2})$

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - A x + 2 B x - B x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 1.6

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 B x - B x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 1.6.2

Sposta $B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 x B - B x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 2 A - x A + 2 x B - x^{2} B + C x^{2}$

Passaggio 1.6.4

Sposta $2 A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x A + 2 x B - x^{2} B + C x^{2} + 2 A$

Passaggio 1.6.5

Sposta $2 x B$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x A - x^{2} B + C x^{2} + 2 x B + 2 A$

Passaggio 1.6.6

Sposta $- x A$ .

$3 x^{2} - 2 x + 4 = - x^{2} B + C x^{2} - x A + 2 x B + 2 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = 2 A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$4 = 2 A$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$4 = 2 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $4 = 2 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $2 A = 4$ .

$2 A = 4$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 4$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = \frac{4}{2}$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A + 2 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 2 = - 1 A + 2 B$ con $2$ .

$- 2 = - 1 \cdot 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$- 2 = - 2 + 2 B$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $- 2 = - 2 + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 + 2 B = - 2$ .

$- 2 + 2 B = - 2$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = - 2 + 2$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$2 B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$2 B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 0$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = \frac{0}{2}$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = - 1 B + C$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $3 = - 1 B + C$ con $0$ .

$3 = - 1 \cdot 0 + C$

$B = 0$

$A = 2$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $- 1 \cdot 0 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 = 0 + C$

$B = 0$

$A = 2$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $0$ e $C$ .

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

$3 = C$

$B = 0$

$A = 2$

Passaggio 3.5

Riscrivi l'equazione come $C = 3$ .

$C = 3$

$B = 0$

$A = 2$

Passaggio 3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = 3 B = 0 A = 2$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = 3, B = 0, A = 2$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{2 - x}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{3}{2 - x}$