Precalcolo Esempi

$\frac{- 4}{x^{2} (x + 5)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 5}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x + 5)$ .

$\frac{(- 4) (x^{2} (x + 5))}{x^{2} (x + 5)} = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 (x^{2} (x + 5))}{x^{2} (x + 5)} = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 4) (x + 5)}{x + 5} = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 (x + 5)}{x + 5} = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $- 4$ per $1$ .

$- 4 = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 = \frac{A (x^{2} (x + 5))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A (x + 5)$ per $1$ .

$- 4 = A (x + 5) + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 = A x + A \cdot 5 + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.3

Sposta $5$ alla sinistra di $A$ .

$- 4 = A x + 5 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 5))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x + 5))$ .

$- 4 = A x + 5 A + \frac{x (B (x (x + 5)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 4 = A x + 5 A + \frac{x (B (x (x + 5)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$- 4 = A x + 5 A + \frac{x (B (x (x + 5)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$- 4 = A x + 5 A + \frac{x (B (x (x + 5)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 4 = A x + 5 A + \frac{B (x (x + 5))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.4.2.5

Dividi $B (x (x + 5))$ per $1$ .

$- 4 = A x + 5 A + B (x (x + 5)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 = A x + 5 A + B (x \cdot x + x \cdot 5) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 4 = A x + 5 A + B (x^{2} + x \cdot 5) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.7

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$- 4 = A x + 5 A + B (x^{2} + 5 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + B (5 x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.10

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.10.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + \frac{C (x^{2} (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.5.10.2

Dividi $(C) (x^{2})$ per $1$ .

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + (C) (x^{2})$

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x + C x^{2}$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $B$ .

$- 4 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 x B + C x^{2}$

Passaggio 1.6.2

Sposta $5 A$ .

$- 4 = A x + B x^{2} + 5 x B + C x^{2} + 5 A$

Passaggio 1.6.3

Sposta $5 x B$ .

$- 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 5 x B + 5 A$

Passaggio 1.6.4

Sposta $A x$ .

$- 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 5 x B + 5 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + 5 B$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 4 = 5 A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$- 4 = 5 A$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$- 4 = 5 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $- 4 = 5 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $5 A = - 4$ .

$5 A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 A = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 A = - 4$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 A}{5} = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = \frac{- 4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = A + 5 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- \frac{4}{5}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + 5 B$ con $- \frac{4}{5}$ .

$0 = (- \frac{4}{5}) + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - \frac{4}{5} + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{4}{5} + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{4}{5} + 5 B$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - \frac{4}{5} + 5 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{4}{5} + 5 B = 0$ .

$- \frac{4}{5} + 5 B = 0$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.3.2

Somma $\frac{4}{5}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 B = \frac{4}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 B = \frac{4}{5}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 B = \frac{4}{5}$ .

$\frac{5 B}{5} = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 B}{5} = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{4}{5}}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$B = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.3.3.3.2

Moltiplica $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{1}{5}$ .

$B = \frac{4}{5 \cdot 5}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.3.3.3.2.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = B + C$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{4}{25}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = B + C$ con $\frac{4}{25}$ .

$0 = (\frac{4}{25}) + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = \frac{4}{25} + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = \frac{4}{25} + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$0 = \frac{4}{25} + C$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $C$ in $0 = \frac{4}{25} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4}{25} + C = 0$ .

$\frac{4}{25} + C = 0$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $\frac{4}{25}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = - \frac{4}{25}$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

$C = - \frac{4}{25}$

$B = \frac{4}{25}$

$A = - \frac{4}{5}$

Passaggio 3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = - \frac{4}{25} B = \frac{4}{25} A = - \frac{4}{5}$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = - \frac{4}{25}, B = \frac{4}{25}, A = - \frac{4}{5}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 5}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{4}{5}}{x^{2}} + \frac{\frac{4}{25}}{x} + \frac{- \frac{4}{25}}{x + 5}$