Precalcolo Esempi

$\frac{4 x^{3} + 5^{2} + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 25 + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $1$ da $25$ .

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{x^{2} x + 1}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $4 x^{3} + 7 x + 24$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 1.1.3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 24, \pm 6, \pm 12, \pm 2, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci $- 1.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1.5$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Sostituisci $- 1.5$ nel polinomio.

$4 {(- 1.5)}^{3} + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Passaggio 1.1.3.3.2

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot - 3.375 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Passaggio 1.1.3.3.3

Moltiplica $4$ per $- 3.375$ .

$- 13.5 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Passaggio 1.1.3.3.4

Moltiplica $7$ per $- 1.5$ .

$- 13.5 - 10.5 + 24$

Passaggio 1.1.3.3.5

Sottrai $10.5$ da $- 13.5$ .

$- 24 + 24$

Passaggio 1.1.3.3.6

Somma $- 24$ e $24$ .

$0$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $- 1.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{2 x + 3}$

Passaggio 1.1.3.5

Dividi $4 x^{3} + 7 x + 24$ per $2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$24$

Passaggio 1.1.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$

Passaggio 1.1.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			+	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Passaggio 1.1.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} + 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Passaggio 1.1.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 1.1.3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

Passaggio 1.1.3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

Passaggio 1.1.3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$9 x$

Passaggio 1.1.3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} - 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$

Passaggio 1.1.3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$

Passaggio 1.1.3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

Passaggio 1.1.3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

Passaggio 1.1.3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							+	$16 x$	+	$24$

Passaggio 1.1.3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x + 24$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$

Passaggio 1.1.3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$
										$0$

Passaggio 1.1.3.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 3 x + 8$

Passaggio 1.1.3.6

Scrivi $4 x^{3} + 7 x + 24$ come insieme di fattori.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x + 1}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x^{1} + 1}$

Passaggio 1.1.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2 + 1} + 1}$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1}$

Passaggio 1.1.5

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1^{3}}$

Passaggio 1.1.6

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

Passaggio 1.1.7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} - x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.5.2.2

Dividi $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ per $1$ .

$(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.6

Espandi $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot (2 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot (2 x^{2 + 1}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x \cdot x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.5.1

Sposta $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x^{2}) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.6

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.7

Moltiplica $8$ per $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.9

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.1.10

Moltiplica $3$ per $8$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Combina i termini opposti in $4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1.1

Somma $- 6 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 16 x + 0 - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.2.1.2

Somma $4 x^{3} + 16 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 16 x - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.7.2.2

Sottrai $9 x$ da $16 x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{A (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.8.1.2

Dividi $(A) (x^{2} - x + 1)$ per $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = (A) (x^{2} - x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + A (- x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.8.3.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.8.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} - x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 1.8.4.2

Dividi $(B x + C) (x + 1)$ per $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + (B x + C) (x + 1)$

Passaggio 1.8.5

Espandi $(B x + C) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Passaggio 1.8.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Passaggio 1.8.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.8.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.6.1.1

Sposta $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.8.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.8.6.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.8.6.3

Moltiplica $C$ per $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Sposta $A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.9.2

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.9.3

Riordina $B$ e $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.9.4

Sposta $A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

Passaggio 1.9.5

Sposta $- x A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + B x^{2} - x A + B x + C x + A + C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$7 = - 1 A + B + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$24 = A + C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $7 = - 1 A + B + C$ con $- B$ .

$7 = - 1 (- B) + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 1 (- B) + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$7 = 1 B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $B$ e $B$ .

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $24 = A + C$ con $- B$ .

$24 = (- B) + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $C$ in $24 = - B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- B + C = 24$ .

$- B + C = 24$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Passaggio 3.3.2

Somma $B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $24 + B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $7 = 2 B + C$ con $24 + B$ .

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $7 = 2 B + 24 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Somma $2 B$ e $B$ .

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.5

Risolvi per $B$ in $7 = 3 B + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $3 B + 24 = 7$ .

$3 B + 24 = 7$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $24$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 B = 7 - 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $24$ da $7$ .

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = - 17$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 B = - 17$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Passaggio 3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{17}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = 24 + B$ con $- \frac{17}{3}$ .

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $C = 24 - \frac{17}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Semplifica $24 - \frac{17}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1.1

Per scrivere $24$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$C = 24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2.2.1.2

$24$ e $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{24 \cdot 3 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1.4.1

Moltiplica $24$ per $3$ .

$C = \frac{72 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.2.2.1.4.2

Sottrai $17$ da $72$ .

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $- \frac{17}{3}$ .

$A = - (- \frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Passaggio 3.6.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1

Moltiplica $- (- \frac{17}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 (\frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Passaggio 3.6.4.1.2

Moltiplica $\frac{17}{3}$ per $1$ .

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{17}{3}, C = \frac{55}{3}, B = - \frac{17}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17}{3 x} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$x$ e $\frac{17}{3}$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{x \cdot 17}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Passaggio 5.2

Sposta $17$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17 x}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$