Precalcolo Esempi

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} > \frac{8}{15}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{8}{15}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1}{2 b + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{1}{b + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 b + 1) (b + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2 b + 1}$ per $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{b + 1}$ per $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(b + 1) (2 b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(b + 1) (2 b + 1)$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{b + 1 + 2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.5

Somma $b$ e $2 b$ .

$\frac{3 b + 1 + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.7

Per scrivere $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} > 0$

Passaggio 2.8

Per scrivere $- \frac{8}{15}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ per $\frac{15}{15}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $\frac{8}{15}$ per $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Passaggio 2.9.3

Riordina i fattori di $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Passaggio 2.9.4

Riordina i fattori di $15 ((2 b + 1) (b + 1))$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15 - 8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 b \cdot 15 + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $15$ per $3$ .

$\frac{45 b + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$\frac{45 b + 30 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{45 b + 30 + (- 8 (2 b) - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.5

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.6

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.7

Espandi $(- 16 b - 8) (b + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b (b + 1) - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.8.1.1

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.8.1.1.1

Sposta $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 (b \cdot b) - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.8.1.1.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.8.1.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.8.1.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.8.2

Sottrai $8 b$ da $- 16 b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 24 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.9

Sottrai $24 b$ da $45 b$ .

$\frac{21 b + 30 - 16 b^{2} - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.10

Sottrai $8$ da $30$ .

$\frac{21 b - 16 b^{2} + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.11

Riordina i termini.

$\frac{- 16 b^{2} + 21 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.12

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.12.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 16 \cdot 22 = - 352$ e la cui somma è $b = 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.12.1.1

Scomponi $21$ da $21 b$ .

$\frac{- 16 b^{2} + 21 (b) + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.12.1.2

Riscrivi $21$ come $- 11$ più $32$ .

$\frac{- 16 b^{2} + (- 11 + 32) b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.12.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 16 b^{2} - 11 b + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.12.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.12.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- 16 b^{2} - 11 b) + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.12.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{b (- 16 b - 11) - 2 (- 16 b - 11)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.11.12.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 16 b - 11$ .

$\frac{(- 16 b - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.12

Scomponi $- 1$ da $- 16 b$ .

$\frac{(- (16 b) - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.13

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$\frac{(- (16 b) - 1 (11)) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.14

Scomponi $- 1$ da $- (16 b) - 1 (11)$ .

$\frac{- (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.15

Riscrivi $- (16 b + 11)$ come $- 1 (16 b + 11)$ .

$\frac{- 1 (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 2.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$16 b + 11 = 0$

$b - 2 = 0$

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 b = - 11$

Passaggio 5

Dividi per $16$ ciascun termine in $16 b = - 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $16$ ciascun termine in $16 b = - 11$ .

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $b$ per $1$ .

$b = \frac{- 11}{16}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$b = - \frac{11}{16}$

Passaggio 6

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$b = 2$

Passaggio 7

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 b = - 1$

Passaggio 8

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 b = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 b = - 1$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $b$ per $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$b = - \frac{1}{2}$

Passaggio 9

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = - 1$

Passaggio 10

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$b = - \frac{11}{16}$

$b = 2$

$b = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

Passaggio 11

Consolida le soluzioni.

$b = - \frac{11}{16}, 2, - \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 12

Trova il dominio di $- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta il denominatore in $\frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Passaggio 12.2.2

Imposta $2 b + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Imposta $2 b + 1$ uguale a $0$ .

$2 b + 1 = 0$

Passaggio 12.2.2.2

Risolvi $2 b + 1 = 0$ per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 b = - 1$

Passaggio 12.2.2.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 b = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 b = - 1$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 12.2.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 12.2.2.2.2.2.1.2

Dividi $b$ per $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 12.2.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$b = - \frac{1}{2}$

Passaggio 12.2.3

Imposta $b + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Imposta $b + 1$ uguale a $0$ .

$b + 1 = 0$

Passaggio 12.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = - 1$

Passaggio 12.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$ vera.

$b = - \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 12.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $b$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 13

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$b < - 1$

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < b < 2$

$b > 2$

Passaggio 14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Testa un valore sull'intervallo $b < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $b < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$b = - 4$

Passaggio 14.1.2

Sostituisci $b$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2 (- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) + 1} > \frac{8}{15}$

Passaggio 14.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{476190}$ non è maggiore del lato destro di $0.5\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$b = - 0.84$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci $b$ con $- 0.84$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2 (- 0.84) + 1} + \frac{1}{(- 0.84) + 1} > \frac{8}{15}$

Passaggio 14.2.3

Il lato sinistro di $4.77941176$ è maggiore del lato destro di $0.5\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 14.3

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$b = - 0.59$

Passaggio 14.3.2

Sostituisci $b$ con $- 0.59$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2 (- 0.59) + 1} + \frac{1}{(- 0.59) + 1} > \frac{8}{15}$

Passaggio 14.3.3

Il lato sinistro di $- 3.\overline{11653}$ non è maggiore del lato destro di $0.5\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.4

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < b < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < b < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$b = 0$

Passaggio 14.4.2

Sostituisci $b$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2 (0) + 1} + \frac{1}{(0) + 1} > \frac{8}{15}$

Passaggio 14.4.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $0.5\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 14.5

Testa un valore sull'intervallo $b > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $b > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$b = 4$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2 (4) + 1} + \frac{1}{(4) + 1} > \frac{8}{15}$

Passaggio 14.5.3

Il lato sinistro di $0.3\overline{1}$ non è maggiore del lato destro di $0.5\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 14.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$b < - 1$ Falso

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Vero

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Vero

$b > 2$ Falso

$b < - 1$ Falso

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Vero

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Vero

$b > 2$ Falso

Passaggio 15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ o $- \frac{1}{2} < b < 2$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 1 < b < - \frac{11}{16} or - \frac{1}{2} < b < 2$

Notazione degli intervalli:

$(- 1, - \frac{11}{16}) \cup (- \frac{1}{2}, 2)$

Passaggio 17