Precalcolo Esempi

$\log (8 - x) > 2 \log (x + 4)$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log (8 - x) = 2 \log (x + 4)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $2 \log (x + 4)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log (8 - x) = \log ({(x + 4)}^{2})$

Passaggio 2.2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$8 - x = {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(x + 4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$8 - x = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi ${(x + 4)}^{2}$ come $(x + 4) (x + 4)$ .

$8 - x = (x + 4) (x + 4)$

Passaggio 2.3.1.3

Espandi $(x + 4) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 - x = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Passaggio 2.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Passaggio 2.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 - x = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$8 - x = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$8 - x = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Passaggio 2.3.1.4.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$8 - x = x^{2} + 8 x + 16$

Passaggio 2.3.2

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} + 8 x + 16 = 8 - x$

Passaggio 2.3.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 8 x + 16 + x = 8$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $8 x$ e $x$ .

$x^{2} + 9 x + 16 = 8$

Passaggio 2.3.4

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 9 x + 16 - 8 = 0$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $8$ da $16$ .

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

Passaggio 2.3.6

Scomponi $x^{2} + 9 x + 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $9$ .

$1, 8$

Passaggio 2.3.6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) (x + 8) = 0$

Passaggio 2.3.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.3.8

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.3.9

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 2.3.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x + 8) = 0$ vera.

$x = - 1, - 8$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$8 - x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 8$

Passaggio 3.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 8$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x = 8$

Passaggio 3.2.4

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.2.5

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 8$

$x = - 4$

Passaggio 3.2.7

Consolida le soluzioni.

$x = 8, - 4$

Passaggio 3.2.8

Trova il dominio di $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Imposta il denominatore in $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.8.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.2.8.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.2.8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Passaggio 3.2.9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

Passaggio 3.2.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 3.2.10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{8 - (- 6)}{{((- 6) + 4)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2.10.1.3

Il lato sinistro di $3.5$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.2.10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 3.2.10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{8 - (0)}{{((0) + 4)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2.10.2.3

Il lato sinistro di $0.5$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 3.2.10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 3.2.10.3.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{8 - (10)}{{((10) + 4)}^{2}} > 0$

Passaggio 3.2.10.3.3

Il lato sinistro di $- 0.01020408$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 3.2.10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 8$ Vero

$x > 8$ Falso

$x < - 4$ Vero

$- 4 < x < 8$ Vero

$x > 8$ Falso

Passaggio 3.2.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 4$ o $- 4 < x < 8$

Passaggio 3.3

Imposta il denominatore in $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8)$

Passaggio 4

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 8$

$x > 8$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

$\log (8 - (- 10)) > 2 \log ((- 10) + 4)$

Passaggio 5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.1.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $- 8 < x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 8 < x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\log (8 - (- 6)) > 2 \log ((- 6) + 4)$

Passaggio 5.2.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.2.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\log (8 - (- 2)) > 2 \log ((- 2) + 4)$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0.60205999$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 5.4

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 5.4.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\log (8 - (0)) > 2 \log ((0) + 4)$

Passaggio 5.4.3

Il lato sinistro di $0.90308998$ non è maggiore del lato destro di $1.20411998$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 5.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 8$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 8$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\log (8 - (10)) > 2 \log ((10) + 4)$

Passaggio 5.5.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.5.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 5.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Falso

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 4 < x < - 1$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 4 < x < - 1$

Notazione degli intervalli:

$(- 4, - 1)$

Passaggio 8