Precalcolo Esempi

$\cos (45) \cos (15) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\cos (15)$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (45 - 30) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.2

Negazione separata.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (45 - (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.7.2

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.7.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.7.3

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.7.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.7.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.8

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{3} + 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.8.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.8.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{8} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.8.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (4)} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.8.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 4} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \sin (45) \sin (15)$

Passaggio 1.9

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (15)$

Passaggio 1.10

Il valore esatto di $\sin (15)$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45 - 30)$

Passaggio 1.10.2

Negazione separata.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45 - (30))$

Passaggio 1.10.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Passaggio 1.10.4

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Passaggio 1.10.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Passaggio 1.10.6

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Passaggio 1.10.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 1.10.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 1.10.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 1.10.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 1.10.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 1.10.8.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 1.10.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Passaggio 1.10.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 1.11

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.11.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 1.12

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 1.13

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 1.14

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 1.14.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Passaggio 1.14.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Passaggio 1.14.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Passaggio 1.15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Passaggio 1.15.2

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Passaggio 1.15.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Passaggio 1.15.3

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Passaggio 1.15.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Passaggio 1.15.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Passaggio 1.15.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Passaggio 1.15.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Passaggio 1.15.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Passaggio 1.15.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Passaggio 1.15.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Passaggio 1.16

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{3} - 2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Passaggio 1.16.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Passaggio 1.16.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Passaggio 1.16.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Passaggio 1.16.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.16.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{4} - \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Passaggio 2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{4}$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} - - 1}{4}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{4}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $\sqrt{3}$ da $\sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{4}$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{4}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$