Precalcolo Esempi

$\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{7 π}{12})$ è $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{7 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{7 π}{12})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi $\frac{7 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Passaggio 1.5.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Passaggio 1.5.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il seno è positivo nel secondo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Passaggio 1.5.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Passaggio 1.5.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.5.4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 1.5.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.5.4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.5.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.5.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.5.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.5.4.7

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.5.4.7.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.5.4.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Passaggio 1.5.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 1.5.4.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 1.5.4.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.6.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Passaggio 2.3

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

Passaggio 2.4

Scomponi $- 1$ da $- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $- (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ come $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})})}{4}$

Passaggio 2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{3 (2 + \sqrt{3})}}{4}$

Forma decimale:

$0.70710678 \dots$