Precalcolo Esempi

$\cos (105) + \cos (15)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (105)$ è $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (75) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \cos (30 + 45) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.3

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.4

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.6

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.8

Semplifica $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Passaggio 1.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.8.1.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + \cos (15)$

Passaggio 1.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (15)$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\cos (15)$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.2.1

Dividi $15$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45 - 30)$

Passaggio 1.2.2

Negazione separata.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45 - (30))$

Passaggio 1.2.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)$

Passaggio 1.2.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)$

Passaggio 1.2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)$

Passaggio 1.2.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)$

Passaggio 1.2.7

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 1.2.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.8.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.8.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.2.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Passaggio 1.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- - \sqrt{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1

Somma $- \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4.3

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Passaggio 4.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimale:

$0.70710678 \dots$