Precalcolo Esempi

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sin (t) (\cos (t) + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ per $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ per $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(\cos (t) + 1) \sin (t)}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $(\cos (t) + 1) \sin (t)$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Espandi $(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (t) (\cos (t) + 1) - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (t) \cdot 1$ e $- 1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 1 \cos (t) - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $1 \cos (t)$ da $1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 0 - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.2.3

Somma $\cos (t) \cos (t)$ e $0$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $\cos (t) \cos (t)$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.3.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.3.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.4

Riordina $\cos^{2} (t)$ e $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.6

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ come $- (1 - \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.9

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.10

Moltiplica $\sin (t) \sin (t)$ .

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Passaggio 5.10.1

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.10.2

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.10.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sin^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 5.11

Somma $- \sin^{2} (t)$ e $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{0}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Passaggio 6

Frazioni separate.

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Passaggio 7

Converti da $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \csc (t)$

Passaggio 8

Dividi $0$ per $\cos (t) + 1$ .

$0 \csc (t)$

Passaggio 9

Moltiplica $0$ per $\csc (t)$ .

$0$