Precalcolo Esempi

$\frac{1}{1 + i} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{1}{1 + 1 i}$ per il coniugato di $1 + 1 i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $1 - i$ per $1$ .

$\frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Espandi $(1 + 1 i) (1 - i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.9

Somma $- 1 i$ e $1 i$ .

$\frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.2.10

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1 - i}{1 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 - - 1} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.3

Dividi la frazione $\frac{1 - i}{2}$ in due frazioni.

$\frac{1}{2} + \frac{- i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Passaggio 1.5

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{1}{1 - i}$ per il coniugato di $1 - i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Passaggio 1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Combina.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $1 + i$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Espandi $(1 - i) (1 + i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Passaggio 1.6.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Passaggio 1.6.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Passaggio 1.6.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Passaggio 1.6.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i i}$

Passaggio 1.6.3.2.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Passaggio 1.6.3.2.4

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 1.6.3.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Passaggio 1.6.3.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Passaggio 1.6.3.2.7

Sottrai $i$ da $1 i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 0 - i^{2}}$

Passaggio 1.6.3.2.8

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - i^{2}}$

Passaggio 1.6.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.3.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - - 1}$

Passaggio 1.6.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1}$

Passaggio 1.6.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{2}$

Passaggio 1.7

Dividi la frazione $\frac{1 + i}{2}$ in due frazioni.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Passaggio 1.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - i - 1 - i}{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 - i - i}{2}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $i$ da $0$ .

$\frac{- i - i}{2}$

Passaggio 2.3

Sottrai $i$ da $- i$ .

$\frac{- 2 i}{2}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 i$ .

$\frac{2 (- i)}{2}$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- i)}{2 (1)}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- i)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- i}{1}$

Passaggio 2.4.2.4

Dividi $- i$ per $1$ .

$- i$