Precalcolo Esempi

$\frac{1 - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\cos^{4} (x)$ come ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}}{1 + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $1 + \cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ per $1$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Passaggio 3

Espandi $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- \cos (x)$ per $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 4.1.5.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 4.1.5.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 4.1.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 4.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$

Passaggio 4.2

Somma $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$1 + 0 - \cos^{2} (x)$

Passaggio 4.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - \cos^{2} (x)$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\sin^{2} (x)$