Precalcolo Esempi

$\frac{\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

Sposta $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.4

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.6

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.8

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.9

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.10

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Passaggio 1.10.1

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.2

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.10.3

Scomponi $\sin^{2} (x)$ da $\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.11

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.12

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.13

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.14

Riordina $- 1^{2}$ e ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1.15

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{1}{\cos (x)}$ e $b = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ per $1$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Passaggio 3

Espandi $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1$

Passaggio 4.2

Somma $- \frac{1}{\cos (x)}$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 0 - 1$

Passaggio 4.3

Somma $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Passaggio 5.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica.

$\tan^{2} (x)$