Precalcolo Esempi

$2 \cos (\frac{π}{8}) - 1$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$2 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - 1$

Passaggio 1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) - 1$

Passaggio 1.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$2 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - 1$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Passaggio 1.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Passaggio 1.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - 1$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - 1$

Passaggio 1.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - 1$

Passaggio 1.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - 1$

Passaggio 1.5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - 1$

Passaggio 1.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

Forma decimale:

$0.84775906 \dots$