Precalcolo Esempi

$\frac{4 x}{x + 4} + \frac{3}{x - 1} = \frac{15}{x^{2} + 3 x - 4}$

Passaggio 1

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{4 x}{x + 4} + \frac{3}{x - 1} = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 4, x - 1, (x - 1) (x + 4)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 4$ è $x + 4$ stesso.

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 1$ è $x - 1$ stesso.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x + 4$ è $x + 4$ stesso.

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x + 4, x - 1, x - 1, x + 4$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 4) (x - 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 4) (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{4 x}{x + 4} + \frac{3}{x - 1} = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{4 x}{x + 4} + \frac{3}{x - 1} = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)}$ per $(x + 4) (x - 1)$ .

$\frac{4 x}{x + 4} ((x + 4) (x - 1)) + \frac{3}{x - 1} ((x + 4) (x - 1)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{x + 4} ((x + 4) (x - 1)) + \frac{3}{x - 1} ((x + 4) (x - 1)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x (x - 1) + \frac{3}{x - 1} ((x + 4) (x - 1)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 + \frac{3}{x - 1} ((x + 4) (x - 1)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 + \frac{3}{x - 1} ((x + 4) (x - 1)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 + \frac{3}{x - 1} ((x + 4) (x - 1)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 x^{2} - 4 x + \frac{3}{x - 1} ((x + 4) (x - 1)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 4) (x - 1)$ .

$4 x^{2} - 4 x + \frac{3}{x - 1} ((x - 1) (x + 4)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} - 4 x + \frac{3}{x - 1} ((x - 1) (x + 4)) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} - 4 x + 3 (x + 4) = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot 4 = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $3$ per $4$ .

$4 x^{2} - 4 x + 3 x + 12 = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 4 x$ e $3 x$ .

$4 x^{2} - x + 12 = \frac{15}{(x - 1) (x + 4)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(x + 4) (x - 1)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(x + 4) (x - 1)$ da $(x - 1) (x + 4)$ .

$4 x^{2} - x + 12 = \frac{15}{(x + 4) (x - 1) (1)} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} - x + 12 = \frac{15}{(x + 4) (x - 1) \cdot 1} ((x + 4) (x - 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} - x + 12 = 15$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - x + 12 - 15 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $15$ da $12$ .

$4 x^{2} - x - 3 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$4 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi $- 1$ come $3$ più $- 4$ .

$4 x^{2} + (3 - 4) x - 3 = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 = 0$

Passaggio 4.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{2} + 3 x) - 4 x - 3 = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (4 x + 3) - (4 x + 3) = 0$

Passaggio 4.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (x - 1) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $4 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $4 x + 3$ uguale a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $4 x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 3$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 4.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 4.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 4.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x + 3) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{3}{4}, 1$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{4 x}{x + 4} + \frac{3}{x - 1} = \frac{15}{x^{2} + 3 x - 4}$ vera.

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{3}{4}$

Forma decimale:

$x = - 0.75$