Precalcolo Esempi

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$2 θ = - \frac{π}{6}$

Passaggio 3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = - \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = - \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$θ = - \frac{π}{12}$

Passaggio 4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 5.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{7 π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{7 π}{6}$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\sin (2 θ)$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 7.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{12}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Passaggio 7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1

Sposta $12$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Passaggio 7.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Passaggio 7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = \frac{11 π}{12}$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\sin (2 θ)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$