Precalcolo Esempi

$e^{2 x} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(e^{x})}^{2} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u^{2} + 7 u - 3 = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 7$ e $c = - 3$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $49$ e $12$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2}$

Passaggio 3.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Passaggio 5

Risolvi $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Passaggio 5.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Passaggio 5.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$

Passaggio 7.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 7.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Nessuna soluzione

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Forma decimale:

$x = - 0.90356001 \dots$