Precalcolo Esempi

$\cos^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + u = 1$

Passaggio 2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + u - 1 = 0$

Passaggio 3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 8

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

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Passaggio 9.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.1

Calcola $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$x = 0.90455689$

Passaggio 9.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.90455689$

Passaggio 9.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 0.90455689$

Passaggio 9.4.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 0.90455689$ .

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Passaggio 9.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.90455689$

Passaggio 9.4.2.2

Sottrai $0.90455689$ da $6.2831853$ .

$x = 5.37862841$

Passaggio 9.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 9.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 9.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 9.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 9.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 9.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.90455689 + 2 π n, 5.37862841 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

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Passaggio 10.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 11

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.90455689 + 2 π n, 5.37862841 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$