Precalcolo Esempi

$\cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 2 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 2 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riordina i termini.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sin (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $2$ come $1$ più $1$ .

$- \sin^{2} (x) + (1 + 1) \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) - 1 (- \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- \sin (x) + 1$ .

$(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $- \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $- \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $- \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Passaggio 2.4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 2.4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 2.4.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.6.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.4.2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.6.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 2.4.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.4.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$