Precalcolo Esempi

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{4 x}$ come un elevamento a potenza.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

Passaggio 2

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

Passaggio 3

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

Passaggio 4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $u^{4}$ come ${(u^{2})}^{2}$ .

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sia $u = u^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $u^{2}$ con $u$ .

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $u^{2} - 6 u - 16$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 16$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 8, 2$

Passaggio 4.2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

Passaggio 4.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $u^{2} - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Imposta $u^{2} - 8$ uguale a $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

Passaggio 4.4.2

Risolvi $u^{2} - 8 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} = 8$

Passaggio 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

Passaggio 4.4.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 4.4.2.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.4.2.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.5

Imposta $u^{2} + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $u^{2} + 2$ uguale a $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $u^{2} + 2 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} = - 2$

Passaggio 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

Passaggio 4.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.3.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Passaggio 4.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = i \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - i \sqrt{2}$

Passaggio 4.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ vera.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $2 \sqrt{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

Passaggio 6

Risolvi $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 6.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

Passaggio 6.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

Passaggio 6.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

Passaggio 7

Sostituisci $- 2 \sqrt{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

Passaggio 8

Risolvi $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 8.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

Passaggio 8.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 2 \sqrt{2})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 8.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Nessuna soluzione

Passaggio 9

Sostituisci $i \sqrt{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{2} = e^{x}$

Passaggio 10

Risolvi $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = i \sqrt{2}$

Passaggio 10.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

Passaggio 10.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

Passaggio 10.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

Passaggio 10.4

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Riscrivi $\ln (i \sqrt{2})$ come $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

Passaggio 10.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.4.3

Espandi $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ spostando $\frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Passaggio 10.4.4

$\frac{1}{2}$ e $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

Passaggio 10.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (2)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Passaggio 10.5.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (2)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10.5.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11

Sostituisci $- i \sqrt{2}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

Passaggio 12

Risolvi $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - i \sqrt{2}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

Passaggio 12.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

Passaggio 12.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- i \sqrt{2})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 12.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - i \sqrt{2}$

Nessuna soluzione

Passaggio 13

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$