Precalcolo Esempi

$e^{x} (8 - e^{x}) = 16$

Passaggio 1

Semplifica $e^{x} (8 - e^{x})$ .

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Passaggio 1.1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} \cdot 8 + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Passaggio 1.1.2

Riordina.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta $8$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$8 \cdot e^{x} + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Passaggio 1.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 \cdot e^{x} - e^{x} e^{x} = 16$

Passaggio 1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$8 e^{x} - (e^{x} e^{x}) = 16$

Passaggio 1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 e^{x} - e^{x + x} = 16$

Passaggio 1.2.3

Somma $x$ e $x$ .

$8 e^{x} - e^{2 x} = 16$

Passaggio 2

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

$8 e^{x} - {(e^{x})}^{2} = 16$

Passaggio 3

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$8 u - u^{2} = 16$

Passaggio 4

Riordina $8 u$ e $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 8 u = 16$

Passaggio 5

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + 8 u - 16 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} + 8 u - 16$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 8 u - 16 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $8 u$ .

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 16 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2}) - (- 8 u)$ .

$- (u^{2} - 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2} - 8 u) - 1 (16)$ .

$- (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$- (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 4$ .

$- {(u - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(u - 4)}^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(u - 4)}^{2} = 0$ .

$\frac{- {(u - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{{(u - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi ${(u - 4)}^{2}$ per $1$ .

${(u - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.4

Poni $u - 4$ uguale a $0$ .

$u - 4 = 0$

Passaggio 5.5

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 4$

Passaggio 6

Sostituisci $4$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $4 = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Passaggio 7.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Passaggio 7.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (4)$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (4)$

Forma decimale:

$x = 1.38629436 \dots$