Precalcolo Esempi

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

Passaggio 3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 10.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.1

Calcola $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 0.37473443$

Passaggio 10.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

Passaggio 10.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 10.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

Passaggio 10.4.2

L'angolo risultante di $2.76685822$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2.76685822$

Passaggio 10.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 10.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 11.1

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 12

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$