Precalcolo Esempi

$\sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 4 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} - 8 u - 4 = 0$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Somma $64$ e $16$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $80$ come $4^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $16$ da $80$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 6

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 7

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$ .

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Passaggio 8.1

Converti il lato destro dell'equazione nel suo equivalente decimale.

$\sin (x) = 8.47213595$

Passaggio 8.2

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $8.47213595$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 9

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$ .

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Passaggio 9.1

Converti il lato destro dell'equazione nel suo equivalente decimale.

$\sin (x) = - 0.47213595$

Passaggio 9.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 0.47213595)$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.1

Calcola $\arcsin (- 0.47213595)$ .

$x = - 0.49171223$

Passaggio 9.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$

Passaggio 9.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 9.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265 - 2 π$

Passaggio 9.5.2

L'angolo risultante di $3.63330488$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 3.63330488$

Passaggio 9.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 9.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 9.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 9.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 9.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 9.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 9.7.1

Somma $2 π$ a $- 0.49171223$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.49171223 + 2 π$

Passaggio 9.7.2

Sottrai $0.49171223$ da $2 π$ .

$5.79147307$

Passaggio 9.7.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 5.79147307$

Passaggio 9.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$