Precalcolo Esempi

$\sec^{2} (x) + 6 \tan (x) + 4 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 6 \tan (x) + 4 = 0$

Passaggio 2

Somma $1$ e $4$ .

$\tan^{2} (x) + 6 \tan (x) + 5 = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) + 5 = 0$

Passaggio 4

Scomponi $u^{2} + 6 u + 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $6$ .

$1, 5$

Passaggio 4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u + 1) (u + 5) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 5 = 0$

Passaggio 6

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 7

Imposta $u + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $u + 5$ uguale a $0$ .

$u + 5 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 5$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u + 1) (u + 5) = 0$ vera.

$u = - 1, - 5$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1, - 5$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = - 1$

$\tan (x) = - 5$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - 1$ .

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Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 11.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 11.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 11.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 11.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 11.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 11.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 11.6.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 11.6.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 11.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.6.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 11.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 11.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.6.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 11.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 11.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 11.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - 5$ .

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Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 5)$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Calcola $\arctan (- 5)$ .

$x = - 1.37340076$

Passaggio 12.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - 1.37340076 - (3.14159265)$

Passaggio 12.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 12.4.1

Somma $2 π$ a $- 1.37340076 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.37340076 - (3.14159265) + 2 π$

Passaggio 12.4.2

L'angolo risultante di $1.76819188$ è positivo e coterminale con $- 1.37340076 - (3.14159265)$ .

$x = 1.76819188$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 12.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Somma $π$ a $- 1.37340076$ per trovare l'angolo positivo.

$- 1.37340076 + π$

Passaggio 12.6.2

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$3.14159265 - 1.37340076$

Passaggio 12.6.3

Sottrai $1.37340076$ da $3.14159265$ .

$1.76819188$

Passaggio 12.6.4

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 1.76819188$

Passaggio 12.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 14.1

Combina $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{3 π}{4} + π n$ in $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n, 1.76819188 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14.2

Combina $1.76819188 + π n$ e $1.76819188 + π n$ in $1.76819188 + π n$ .

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 1.76819188 + π n$ , per qualsiasi intero $n$