Precalcolo Esempi

$\log_{5} (x + 7) + \log_{5} (x - 7) = 3$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 7) (x - 7)) = 3$

Passaggio 1.2

Espandi $(x + 7) (x - 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x (x - 7) + 7 (x - 7)) = 3$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 (x - 7)) = 3$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7) = 3$

Passaggio 1.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.1

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 7$ e $7 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7) = 3$

Passaggio 1.3.1.2

Somma $- 7 x$ e $7 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 7 \cdot - 7) = 3$

Passaggio 1.3.1.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 7 \cdot - 7) = 3$

Passaggio 1.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 7 \cdot - 7) = 3$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $7$ per $- 7$ .

$\log_{5} (x^{2} - 49) = 3$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{5} (x^{2} - 49) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} - 49$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 49 = 5^{3}$ .

$x^{2} - 49 = 5^{3}$

Passaggio 3.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$x^{2} - 49 = 125$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Somma $49$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 125 + 49$

Passaggio 3.3.2

Somma $125$ e $49$ .

$x^{2} = 174$

Passaggio 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{174}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{174}$

Passaggio 3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{174}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{174}, - \sqrt{174}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (x + 7) + \log_{5} (x - 7) = 3$ vera.

$x = \sqrt{174}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{174}$

Forma decimale:

$x = 13.19090595 \dots$