Precalcolo Esempi

$\log_{21} (x - 3) + \log_{21} (x + 1) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{21} ((x - 3) (x + 1)) = 1$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 3) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{21} (x (x + 1) - 3 (x + 1)) = 1$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{21} (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)) = 1$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{21} (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{21} (x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) = 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\log_{21} (x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1) = 1$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\log_{21} (x^{2} + x - 3 x - 3) = 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$\log_{21} (x^{2} - 2 x - 3) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{21} (x^{2} - 2 x - 3) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$21^{1} = x^{2} - 2 x - 3$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 2 x - 3 = 21^{1}$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 21$

Passaggio 3.2

Sottrai $21$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - 3 - 21 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $21$ da $- 3$ .

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2} - 2 x - 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 6, 4$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 6, - 4$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{21} (x - 3) + \log_{21} (x + 1) = 1$ vera.

$x = 6$