Precalcolo Esempi

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1

Semplifica $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ .

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Passaggio 1.1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x + 1))$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x)$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.4.1

Sposta $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 (x \cdot x) + x)$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x^{2} + x)$

Passaggio 2

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$5 x = 2 x^{2} + x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$2 x^{2} + x = 5 x$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + x - 5 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $5 x$ da $x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 4 x = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2 x$ da $- 4 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 2) = 0$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x) + 2 x (- 2)$ .

$2 x (x - 2) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ vera.

$x = 2$