Precalcolo Esempi

$\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3}) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$

Passaggio 1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x - 3)) = 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{x}{2 x + 3}$ per $2 x - 3$ .

$\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{5} (\frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{x (2 x - 3)}{2 x + 3}$

Passaggio 3

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x (2 x - 3) = 5^{0} (2 x + 3)$

Passaggio 4

Semplifica $5^{0} (2 x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x (2 x - 3) = 1 (2 x + 3)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2 x + 3$ per $1$ .

$x (2 x - 3) = 2 x + 3$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x (2 x - 3) - 2 x = 3$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x = 3$

Passaggio 5.2.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 x = 3$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x = 3$

$2 x^{2} - 3 x - 2 x = 3$

Passaggio 5.3

Sottrai $2 x$ da $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Passaggio 6

Scomponi $x$ da $2 x^{2} - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$x (2 x) - 5 x = 3$

Passaggio 6.2

Scomponi $x$ da $- 5 x$ .

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Passaggio 6.3

Scomponi $x$ da $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$x (2 x - 5) = 3$

Passaggio 7

Semplifica $x (2 x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 5 = 3$

Passaggio 7.1.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 = 3$

Passaggio 7.1.2.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$2 x \cdot x - 5 \cdot x = 3$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) - 5 \cdot x = 3$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x = 3$

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Passaggio 8

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Passaggio 9

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi $- 5$ come $1$ più $- 6$ .

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

Passaggio 9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

Passaggio 9.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

Passaggio 9.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

Passaggio 9.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 11

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 11.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Passaggio 14

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (x) - \log_{5} (2 x + 3) + \log_{5} (2 x - 3) = 0$ vera.

$x = 3$