Precalcolo Esempi

$\log_{4} (x - 3) + \log_{4} (x - 3) = 3$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((x - 3) (x - 3)) = 3$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{4} (x (x - 3) - 3 (x - 3)) = 3$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) = 3$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) = 3$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) = 3$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) = 3$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\log_{4} (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) = 3$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 6 x + 9) = 3$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{4} (x^{2} - 6 x + 9) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{3} = x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 6 x + 9 = 4^{3}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 4^{3}$

Passaggio 3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 64$

Passaggio 3.3

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 6 x + 9 - 64 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $64$ da $9$ .

$x^{2} - 6 x - 55 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $x^{2} - 6 x - 55$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 55$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 11, 5$

Passaggio 3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 11) (x + 5) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 11 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $x - 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x - 11$ uguale a $0$ .

$x - 11 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $11$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 11$

Passaggio 3.8

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.8.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 11) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 11, - 5$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{4} (x - 3) + \log_{4} (x - 3) = 3$ vera.

$x = 11$