Precalcolo Esempi

$\log_{4} (x - 5) + \log_{4} (x + 5) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((x - 5) (x + 5)) = 2$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{4} (x (x + 5) - 5 (x + 5)) = 2$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 5 - 5 (x + 5)) = 2$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 5 - 5 x - 5 \cdot 5) = 2$

Passaggio 1.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.1

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot 5 - 5 x - 5 \cdot 5$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot 5$ e $- 5 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 5 x - 5 x - 5 \cdot 5) = 2$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $5 x$ da $5 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 0 - 5 \cdot 5) = 2$

Passaggio 1.3.1.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{4} (x \cdot x - 5 \cdot 5) = 2$

Passaggio 1.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 5 \cdot 5) = 2$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$\log_{4} (x^{2} - 25) = 2$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{4} (x^{2} - 25) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{2} = x^{2} - 25$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 25 = 4^{2}$ .

$x^{2} - 25 = 4^{2}$

Passaggio 3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} - 25 = 16$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Somma $25$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 16 + 25$

Passaggio 3.3.2

Somma $16$ e $25$ .

$x^{2} = 41$

Passaggio 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{41}$

Passaggio 3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{41}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{4} (x - 5) + \log_{4} (x + 5) = 2$ vera.

$x = \sqrt{41}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{41}$

Forma decimale:

$x = 6.40312423 \dots$