Precalcolo Esempi

$\log_{2} (x + 2) = 2 - \log_{2} (x + 5)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{2} (x + 2) + \log_{2} (x + 5) = 2$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 2) (x + 5)) = 2$

Passaggio 3

Espandi $(x + 2) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (x (x + 5) + 2 (x + 5)) = 2$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 2 (x + 5)) = 2$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Passaggio 4.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 5) = 2$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\log_{2} (x^{2} + 5 x + 2 x + 10) = 2$

Passaggio 4.2

Somma $5 x$ e $2 x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 7 x + 10) = 2$

Passaggio 5

Riscrivi $\log_{2} (x^{2} + 7 x + 10) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{2} = x^{2} + 7 x + 10$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 7 x + 10 = 2^{2}$ .

$x^{2} + 7 x + 10 = 2^{2}$

Passaggio 6.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} + 7 x + 10 = 4$

Passaggio 6.3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 7 x + 10 - 4 = 0$

Passaggio 6.4

Sottrai $4$ da $10$ .

$x^{2} + 7 x + 6 = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi $x^{2} + 7 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $7$ .

$1, 6$

Passaggio 6.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) (x + 6) = 0$

Passaggio 6.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 6.7

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.7.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6.8

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.8.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 6.8.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 6.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x + 6) = 0$ vera.

$x = - 1, - 6$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{2} (x + 2) = 2 - \log_{2} (x + 5)$ vera.

$x = - 1$