Precalcolo Esempi

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$\ln (x - 1), 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$\ln (x - 1)$

Passaggio 2

Moltiplica per $\ln (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ per $\ln (x - 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (x - 1)$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $2 \ln (x - 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi.

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Passaggio 3.2.1.3

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Passaggio 3.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Passaggio 3.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.1.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.1.4.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.1.4.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.1.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Passaggio 3.2.1.4.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

Passaggio 3.2.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Passaggio 3.2.5

Combina i termini opposti in $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $x^{2} - 3 x$ e $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Passaggio 3.2.6

Scomponi $x$ da $x^{2} - 3 x$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Passaggio 3.2.6.2

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Passaggio 3.2.6.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Passaggio 3.2.7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.8

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.9

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.9.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2.9.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.2.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ vera.

$x = 3$