Precalcolo Esempi

$\ln ({(x)}^{\ln (x)}) = 4$

Passaggio 1

Espandi $\ln (x^{\ln (x)})$ .

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Passaggio 1.1

Espandi $\ln (x^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\ln (x) \ln (x)$

Passaggio 1.2

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln (x)$

Passaggio 1.3

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Passaggio 1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\ln (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\ln^{2} (x)$

Passaggio 2

L'equazione espansa è $\ln^{2} (x) = 4$ .

$\ln^{2} (x) = 4$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (x) = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\ln (x) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\ln (x) = \pm 2$

Passaggio 3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\ln (x) = 2$

Passaggio 3.3.2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\ln (x) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'equazione come $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Passaggio 3.3.5

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\ln (x) = - 2$

Passaggio 3.3.6

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- 2}$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi $\ln (x) = - 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x$

Passaggio 3.3.8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.8.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- 2}$ .

$x = e^{- 2}$

Passaggio 3.3.8.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 3.3.9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = e^{2}, \frac{1}{e^{2}}$

Forma decimale:

$x = 7.38905609 \dots, 0.13533528 \dots$