Precalcolo Esempi

$\log_{11} (4 x + 1) + \log_{11} (x + 2) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{11} ((4 x + 1) (x + 2)) = 1$

Passaggio 1.2

Espandi $(4 x + 1) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{11} (4 x (x + 2) + 1 (x + 2)) = 1$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{11} (4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 1 (x + 2)) = 1$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{11} (4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\log_{11} (4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + 1 x + 1 \cdot 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + x + 1 \cdot 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 8 x + x + 2) = 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $8 x$ e $x$ .

$\log_{11} (4 x^{2} + 9 x + 2) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{11} (4 x^{2} + 9 x + 2) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$11^{1} = 4 x^{2} + 9 x + 2$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $4 x^{2} + 9 x + 2 = 11^{1}$ .

$4 x^{2} + 9 x + 2 = 11$

Passaggio 3.2

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + 9 x + 2 - 11 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $11$ da $2$ .

$4 x^{2} + 9 x - 9 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ e la cui somma è $b = 9$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $9$ da $9 x$ .

$4 x^{2} + 9 (x) - 9 = 0$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi $9$ come $- 3$ più $12$ .

$4 x^{2} + (- 3 + 12) x - 9 = 0$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x + 12 x - 9 = 0$

Passaggio 3.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{2} - 3 x) + 12 x - 9 = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (4 x - 3) + 3 (4 x - 3) = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x + 3) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $4 x - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 3$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ e semplifica.

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Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x - 3) (x + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{4}, - 3$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{11} (4 x + 1) + \log_{11} (x + 2) = 1$ vera.

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{3}{4}$

Forma decimale:

$x = 0.75$