Precalcolo Esempi

$5 e^{x} + 2 e^{- x} = 7$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$5 e^{x} + 2 {(e^{x})}^{- 1} = 7$

Passaggio 2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$5 u + 2 u^{- 1} = 7$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 u + 2 (\frac{1}{u}) = 7$

Passaggio 3.2

$2$ e $\frac{1}{u}$ .

$5 u + \frac{2}{u} = 7$

Passaggio 4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1$

Passaggio 4.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 4.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $5 u + \frac{2}{u} = 7$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni termine in $5 u + \frac{2}{u} = 7$ per $u$ .

$5 u \cdot u + \frac{2}{u} u = 7 u$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Sposta $u$ .

$5 (u \cdot u) + \frac{2}{u} u = 7 u$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$5 u^{2} + \frac{2}{u} u = 7 u$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 u^{2} + \frac{2}{u} u = 7 u$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$5 u^{2} + 2 = 7 u$

Passaggio 4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $7 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 u^{2} + 2 - 7 u = 0$

Passaggio 4.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Riordina i termini.

$5 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot 2 = 10$ e la cui somma è $b = - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 u$ .

$5 u^{2} - 7 u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.2.2

Riscrivi $- 7$ come $- 2$ più $- 5$ .

$5 u^{2} + (- 2 - 5) u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 u^{2} - 2 u - 5 u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(5 u^{2} - 2 u) - 5 u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (5 u - 2) - (5 u - 2) = 0$

Passaggio 4.3.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 u - 2$ .

$(5 u - 2) (u - 1) = 0$

Passaggio 4.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 4.3.4

Imposta $5 u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Imposta $5 u - 2$ uguale a $0$ .

$5 u - 2 = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Risolvi $5 u - 2 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 u = 2$

Passaggio 4.3.4.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 u = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 u = 2$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 4.3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 4.3.4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{2}{5}$

Passaggio 4.3.5

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 4.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 u - 2) (u - 1) = 0$ vera.

$u = \frac{2}{5}, 1$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{2}{5}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{2}{5} = e^{x}$

Passaggio 6

Risolvi $\frac{2}{5} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{2}{5}$ .

$e^{x} = \frac{2}{5}$

Passaggio 6.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{2}{5})$

Passaggio 6.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{2}{5})$

Passaggio 6.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{2}{5})$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{2}{5})$

Passaggio 7

Sostituisci $1$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Passaggio 8

Risolvi $1 = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Passaggio 8.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 8.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Passaggio 8.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (1)$

Passaggio 8.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 9

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (\frac{2}{5}), 0$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (\frac{2}{5}), 0$

Forma decimale:

$x = - 0.91629073 \dots, 0$