Precalcolo Esempi

$36 x^{3} + 45 x^{2} - 7 x - 4 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $36 x^{3} + 45 x^{2} - 7 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Passaggio 1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.02\overline{7}, \pm 0.5, \pm 0.0\overline{5}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.25, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{4}, \pm 0.\overline{6}$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci $- 0.25$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.25$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci $- 0.25$ nel polinomio.

$36 {(- 0.25)}^{3} + 45 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 4$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva $- 0.25$ alla potenza di $3$ .

$36 \cdot - 0.015625 + 45 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 4$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $36$ per $- 0.015625$ .

$- 0.5625 + 45 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 4$

Passaggio 1.1.3.4

Eleva $- 0.25$ alla potenza di $2$ .

$- 0.5625 + 45 \cdot 0.0625 - 7 \cdot - 0.25 - 4$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $45$ per $0.0625$ .

$- 0.5625 + 2.8125 - 7 \cdot - 0.25 - 4$

Passaggio 1.1.3.6

Somma $- 0.5625$ e $2.8125$ .

$2.25 - 7 \cdot - 0.25 - 4$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $- 7$ per $- 0.25$ .

$2.25 + 1.75 - 4$

Passaggio 1.1.3.8

Somma $2.25$ e $1.75$ .

$4 - 4$

Passaggio 1.1.3.9

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 0.25$ è una radice nota, dividi il polinomio per $4 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{36 x^{3} + 45 x^{2} - 7 x - 4}{4 x + 1}$

Passaggio 1.1.5

Dividi $36 x^{3} + 45 x^{2} - 7 x - 4$ per $4 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x$

$1$

$36 x^{3}$

$45 x^{2}$

$7 x$

$4$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $36 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

					$9 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$9 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			+	$36 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $36 x^{3} + 9 x^{2}$

				$9 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$9 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$9 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $36 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$36 x^{2}$	+	$9 x$

Passaggio 1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $36 x^{2} + 9 x$

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$36 x^{2}$	-	$9 x$

Passaggio 1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$36 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$16 x$

Passaggio 1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$36 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$16 x$	-	$4$

Passaggio 1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$36 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$16 x$	-	$4$

Passaggio 1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$36 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$16 x$	-	$4$
							-	$16 x$	-	$4$

Passaggio 1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 16 x - 4$

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$36 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$16 x$	-	$4$
							+	$16 x$	+	$4$

Passaggio 1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$9 x^{2}$	+	$9 x$	-	$4$
$4 x$	+	$1$		$36 x^{3}$	+	$45 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$36 x^{3}$	-	$9 x^{2}$
					+	$36 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$36 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$16 x$	-	$4$
							+	$16 x$	+	$4$
										$0$

Passaggio 1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$9 x^{2} + 9 x - 4$

Passaggio 1.1.6

Scrivi $36 x^{3} + 45 x^{2} - 7 x - 4$ come insieme di fattori.

$(4 x + 1) (9 x^{2} + 9 x - 4) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot - 4 = - 36$ e la cui somma è $b = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Scomponi $9$ da $9 x$ .

$(4 x + 1) (9 x^{2} + 9 (x) - 4) = 0$

Passaggio 1.2.1.1.2

Riscrivi $9$ come $- 3$ più $12$ .

$(4 x + 1) (9 x^{2} + (- 3 + 12) x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 12 x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x + 1) ((9 x^{2} - 3 x) + 12 x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(4 x + 1) (3 x (3 x - 1) + 4 (3 x - 1)) = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(4 x + 1) ((3 x - 1) (3 x + 4)) = 0$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(4 x + 1) (3 x - 1) (3 x + 4) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 3

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $4 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $3 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x + 1) (3 x - 1) (3 x + 4) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, - \frac{4}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, - \frac{4}{3}$

Forma decimale:

$x = - 0.25, 0.\overline{3}, - 1.\overline{3}$

Forma numero misto:

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, - 1 \frac{1}{3}$