Precalcolo Esempi

$31 x^{2} + 10 \sqrt{3} x y + 21 y^{2} - 144 = 0$

Passaggio 1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori $a = 31$ , $b = 10 \sqrt{3} y$ e $c = 21 y^{2} - 144$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1.1

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (31 \cdot (21 y^{2} - 144))}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2

Sia $u = 31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ con $u$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $10 \sqrt{3} y$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $10 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.1.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.3.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{100 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $100$ per $3$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{300 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $4$ da $300 y^{2} - 4 u$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Scomponi $4$ da $300 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (75 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - u)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $31 \cdot (21 y^{2} - 144)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 \cdot (21 y^{2} - 144)))}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.5

Semplifica.

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Passaggio 3.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (31 (21 y^{2}) + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.5.1.2

Moltiplica $21$ per $31$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} + 31 \cdot - 144))}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.5.1.3

Moltiplica $31$ per $- 144$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2} - 4464))}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.5.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - (651 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.5.1.5

Moltiplica $651$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 4464$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (75 y^{2} - 651 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.5.2

Sottrai $651 y^{2}$ da $75 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 576 y^{2} + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.6

Scomponi $144$ da $- 576 y^{2} + 4464$ .

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Passaggio 3.1.6.1

Scomponi $144$ da $- 576 y^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 4464)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.6.2

Scomponi $144$ da $4464$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2}) + 144 (31))}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.6.3

Scomponi $144$ da $144 (- 4 y^{2}) + 144 (31)$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (144 (- 4 y^{2} + 31))}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.7

Moltiplica $4$ per $144$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{576 (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.8

Riscrivi $576$ come $24^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm \sqrt{24^{2} (- 4 y^{2} + 31)}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{2 \cdot 31}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $31$ .

$x = \frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\frac{- 10 \sqrt{3} y \pm 24 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{62}$ .

$x = \frac{- 5 \sqrt{3} y \pm 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

Passaggio 4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y - 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$

$x = - \frac{5 \sqrt{3} y + 12 \sqrt{- 4 y^{2} + 31}}{31}$