Precalcolo Esempi

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) = 3 \ln (2)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2)$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (x + 3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Semplifica $- 3 \ln (2)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (2^{3}) = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (8) = 0$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}) - \ln (8) = 0$

Passaggio 2.1.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}}{8}) = 0$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{8}) = 0$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 1) \cdot 8}) = 0$

Passaggio 2.1.6

Sposta $8$ alla sinistra di $x + 1$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

${(x + 3)}^{2} = e^{0} (8 (x + 1))$

Passaggio 5

Semplifica $e^{0} (8 (x + 1))$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 1 (8 (x + 1))$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $8 (x + 1)$ per $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 (x + 1)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8 \cdot 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(x + 3)}^{2} - 8 x = 8$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi ${(x + 3)}^{2}$ come $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) - 8 x = 8$

Passaggio 6.2.2

Espandi $(x + 3) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Passaggio 6.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Passaggio 6.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Passaggio 6.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Passaggio 6.2.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Passaggio 6.2.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 8 x = 8$

Passaggio 6.2.3.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 8$

Passaggio 6.3

Sottrai $8 x$ da $6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 9 = 8$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x = 8 - 9$

Passaggio 7.2

Sottrai $9$ da $8$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Passaggio 8

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Passaggio 9

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Passaggio 9.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 9.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 9.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 10

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 11

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$