Precalcolo Esempi

$2 \ln (x) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$ .

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Passaggio 2.1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln ((2 x - 3) (x - 2))$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(2 x - 3) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x (x - 2) - 3 (x - 2))$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 3 (x - 2))$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Passaggio 2.1.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 4 x - 3 x + 6)$

Passaggio 2.1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 4 x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 7 x + 6)$

Passaggio 3

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{2} = 2 x^{2} - 7 x + 6$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $x^{2} - 7 x + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 6, - 1$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 6) (x - 1) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 4.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 6, 1$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \ln (x) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$ vera.

$x = 6$