Precalcolo Esempi

$2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $2 x^{5} - 15 x^{3} - 27 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $2 x^{5}$ .

$x (2 x^{4}) - 15 x^{3} - 27 x = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x$ da $- 15 x^{3}$ .

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) - 27 x = 0$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $- 27 x$ .

$x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $x$ da $x (2 x^{4}) + x (- 15 x^{2})$ .

$x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27 = 0$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $x$ da $x (2 x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 27$ .

$x (2 x^{4} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (2 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 27) = 0$

Passaggio 1.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ e la cui somma è $b = - 15$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Scomponi $- 15$ da $- 15 u$ .

$x (2 u^{2} - 15 u - 27) = 0$

Passaggio 1.4.1.2

Riscrivi $- 15$ come $3$ più $- 18$ .

$x (2 u^{2} + (3 - 18) u - 27) = 0$

Passaggio 1.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 u^{2} + 3 u - 18 u - 27) = 0$

Passaggio 1.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x ((2 u^{2} + 3 u) - 18 u - 27) = 0$

Passaggio 1.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (u (2 u + 3) - 9 (2 u + 3)) = 0$

Passaggio 1.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 3$ .

$x ((2 u + 3) (u - 9)) = 0$

Passaggio 1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 9)) = 0$

Passaggio 1.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x ((2 x^{2} + 3) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Passaggio 1.7

Scomponi.

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Passaggio 1.7.1

Scomponi.

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Passaggio 1.7.1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$x ((2 x^{2} + 3) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x ((2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 1.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Imposta $2 x^{2} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2 x^{2} + 3$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2 x^{2} + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = - 3$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = - 3$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{3}{2}$

Passaggio 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{2}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.2.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 4.2.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.2.4.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.2.4.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 4.2.4.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.2.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.5.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.2.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 4.2.4.5.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.4.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 4.2.4.6.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{2}$

Passaggio 4.2.4.7

$i$ e $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 4.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 4.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 4.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (2 x^{2} + 3) (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{6}}{2}, - \frac{i \sqrt{6}}{2}, - 3, 3$