Precalcolo Esempi

$3 = \log_{x} (512)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come

$\log_{x} (512) = 3$ .

$\log_{x} (512) = 3$

Passaggio 2

Riscrivi

$\log_{x} (512) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se

$x$ e

$b$ sono numeri reali positivi e

$b \neq 1$ , allora

$\log_{b} (x) = y$ è equivalente a

$b^{y} = x$ .

$x^{3} = 512$

Passaggio 3

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai

$512$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 512 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi

$512$ come

$8^{3}$ .

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = x$ e

$b = 8$ .

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sposta

$8$ alla sinistra di

$x$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Eleva

$8$ alla potenza di

$2$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta

$x - 8$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta

$x - 8$ uguale a

$0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma

$8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 3.5

Imposta

$x^{2} + 8 x + 64$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta

$x^{2} + 8 x + 64$ uguale a

$0$ .

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5.2.2

Sostituisci i valori

$a = 1$ ,

$b = 8$ e

$c = 64$ nella formula quadratica e risolvi per

$x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Eleva

$8$ alla potenza di

$2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Moltiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.3

Sottrai

$256$ da

$64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.4

Riscrivi

$- 192$ come

$- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.5

Riscrivi

$\sqrt{- 1 (192)}$ come

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.6

Riscrivi

$\sqrt{- 1}$ come

$i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.7

Riscrivi

$192$ come

$8^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.7.1

Scomponi

$64$ da

$192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.7.2

Riscrivi

$64$ come

$8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.9

Sposta

$8$ alla sinistra di

$i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.5.2.3.3

Semplifica

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Passaggio 3.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ vera.

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$