Precalcolo Esempi

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5)$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica $2 \log_{2} (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{4} = \frac{x^{2}}{x + 5}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x^{2} = 2^{4} (x + 5)$

Passaggio 5

Semplifica $2^{4} (x + 5)$ .

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Passaggio 5.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$x^{2} = 16 (x + 5)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = 16 x + 16 \cdot 5$

Passaggio 5.3

Moltiplica $16$ per $5$ .

$x^{2} = 16 x + 80$

Passaggio 6

Sottrai $16 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 16 x = 80$

Passaggio 7

Scomponi $x$ da $x^{2} - 16 x$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - 16 x = 80$

Passaggio 7.2

Scomponi $x$ da $- 16 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Passaggio 7.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$x (x - 16) = 80$

Passaggio 8

Semplifica $x (x - 16)$ .

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Passaggio 8.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 16 = 80$

Passaggio 8.2.2

Sposta $- 16$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 16 x = 80$

Passaggio 9

Sottrai $80$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 16 x - 80 = 0$

Passaggio 10

Scomponi $x^{2} - 16 x - 80$ usando il metodo AC.

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Passaggio 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 80$ e la cui somma è $- 16$ .

$- 20, 4$

Passaggio 10.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 20) (x + 4) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 20 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x - 20$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 20$ uguale a $0$ .

$x - 20 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $20$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 20$

Passaggio 13

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 20) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 20, - 4$

Passaggio 15

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$ vera.

$x = 20$