Precalcolo Esempi

$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{2 x - 7}{x - 6} = \frac{x - 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Passaggio 1

Scomponi $x^{2} - 5 x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 6, 1$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{2 x - 7}{x - 6} = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 1, x - 6, (x - 6) (x + 1)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 6$ è $x - 6$ stesso.

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x + 1, x - 6, x - 6, x + 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 1) (x - 6)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 1) (x - 6)$ ciascun termine in $\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{2 x - 7}{x - 6} = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{2 x - 7}{x - 6} = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)}$ per $(x + 1) (x - 6)$ .

$\frac{x - 2}{x + 1} ((x + 1) (x - 6)) + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x - 2}{x + 1} ((x + 1) (x - 6)) + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(x - 2) (x - 6) + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(x - 2) (x - 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 6) - 2 (x - 6) + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 6 - 2 (x - 6) + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6 + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6 + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 6 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 6 + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$x^{2} - 6 x - 2 x + 12 + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 6 x$ .

$x^{2} - 8 x + 12 + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x + 1) (x - 6)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Scomponi $x - 6$ da $(x + 1) (x - 6)$ .

$x^{2} - 8 x + 12 + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x - 6) (x + 1)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 8 x + 12 + \frac{2 x - 7}{x - 6} ((x - 6) (x + 1)) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 8 x + 12 + (2 x - 7) (x + 1) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.5

Espandi $(2 x - 7) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 8 x + 12 + 2 x (x + 1) - 7 (x + 1) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 8 x + 12 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 7 (x + 1) = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 8 x + 12 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1.1.1

Sposta $x$ .

$x^{2} - 8 x + 12 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.6.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 8 x + 12 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.6.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{2} - 8 x + 12 + 2 x^{2} + 2 x - 7 x - 7 \cdot 1 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.6.1.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$x^{2} - 8 x + 12 + 2 x^{2} + 2 x - 7 x - 7 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.1.6.2

Sottrai $7 x$ da $2 x$ .

$x^{2} - 8 x + 12 + 2 x^{2} - 5 x - 7 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 x + 12 - 5 x - 7 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $5 x$ da $- 8 x$ .

$3 x^{2} - 13 x + 12 - 7 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.2.2.3

Sottrai $7$ da $12$ .

$3 x^{2} - 13 x + 5 = \frac{x - 3}{(x - 6) (x + 1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(x + 1) (x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(x + 1) (x - 6)$ da $(x - 6) (x + 1)$ .

$3 x^{2} - 13 x + 5 = \frac{x - 3}{(x + 1) (x - 6) (1)} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} - 13 x + 5 = \frac{x - 3}{(x + 1) (x - 6) \cdot 1} ((x + 1) (x - 6))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} - 13 x + 5 = x - 3$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 13 x + 5 - x = - 3$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $x$ da $- 13 x$ .

$3 x^{2} - 14 x + 5 = - 3$

Passaggio 4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 14 x + 5 + 3 = 0$

Passaggio 4.3

Somma $5$ e $3$ .

$3 x^{2} - 14 x + 8 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ e la cui somma è $b = - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Scomponi $- 14$ da $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x + 8 = 0$

Passaggio 4.4.1.2

Riscrivi $- 14$ come $- 2$ più $- 12$ .

$3 x^{2} + (- 2 - 12) x + 8 = 0$

Passaggio 4.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 2 x - 12 x + 8 = 0$

Passaggio 4.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 2 x) - 12 x + 8 = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 2) - 4 (3 x - 2) = 0$

Passaggio 4.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (x - 4) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $3 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 4.6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.7

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.7.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 2) (x - 4) = 0$ vera.

$x = \frac{2}{3}, 4$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{2}{3}, 4$

Forma decimale:

$x = 0.\overline{6}, 4$