Precalcolo Esempi

$x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} + 2 x^{3}$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$x^{3} x + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 7 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} x + x^{3} \cdot 2$ .

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 7 \cdot - 12 = 84$ e la cui somma è $b = - 20$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $- 20$ da $- 20 x$ .

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi $- 20$ come $- 6$ più $- 14$ .

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} + (- 6 - 14) x - 12 = 0$

Passaggio 1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} - 6 x - 14 x - 12 = 0$

Passaggio 1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} - 6 x - 14 x - 12 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{3} (x + 2) + x (- 7 x - 6) + 2 (- 7 x - 6) = 0$

Passaggio 1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 7 x - 6$ .

$x^{3} (x + 2) + (- 7 x - 6) (x + 2) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi $x + 2$ da $x^{3} (x + 2) + (- 7 x - 6) (x + 2)$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $x + 2$ da $x^{3} (x + 2)$ .

$(x + 2) x^{3} + (- 7 x - 6) (x + 2) = 0$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $x + 2$ da $(- 7 x - 6) (x + 2)$ .

$(x + 2) x^{3} + (x + 2) (- 7 x - 6) = 0$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $x + 2$ da $(x + 2) x^{3} + (x + 2) (- 7 x - 6)$ .

$(x + 2) (x^{3} - 7 x - 6) = 0$

Passaggio 1.5

Scomponi.

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Passaggio 1.5.1

Riscrivi $x^{3} - 7 x - 6$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 1.5.1.1

Scomponi $x^{3} - 7 x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.5.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.5.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 1.5.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.5.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 6$

Passaggio 1.5.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

Passaggio 1.5.1.1.3.3

Moltiplica $- 7$ per $- 1$ .

$- 1 + 7 - 6$

Passaggio 1.5.1.1.3.4

Somma $- 1$ e $7$ .

$6 - 6$

Passaggio 1.5.1.1.3.5

Sottrai $6$ da $6$ .

$0$

Passaggio 1.5.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 7 x - 6}{x + 1}$

Passaggio 1.5.1.1.5

Dividi $x^{3} - 7 x - 6$ per $x + 1$ .

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Passaggio 1.5.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

Passaggio 1.5.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Passaggio 1.5.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.5.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.5.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.5.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Passaggio 1.5.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.5.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.5.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.5.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 6$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Passaggio 1.5.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Passaggio 1.5.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 6$

Passaggio 1.5.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 7 x - 6$ come insieme di fattori.

$(x + 2) ((x + 1) (x^{2} - x - 6)) = 0$

Passaggio 1.5.1.2

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.5.1.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.5.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 1.5.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 2) ((x + 1) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

Passaggio 1.5.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) ((x + 1) (x - 3) (x + 2)) = 0$

Passaggio 1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x + 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 1.6

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 1.6.1

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 1.6.2

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 1.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 1.6.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 2)}^{2} (x + 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - 2, - 1, 3$