Precalcolo Esempi

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Passaggio 1.3

Per scrivere $\frac{1}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Passaggio 1.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

Passaggio 1.5.3

Riordina i fattori di $(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Passaggio 1.7

Sottrai $5 \sin (x)$ da $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

Passaggio 3

Moltiplica per $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ ciascun termine in $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ per $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Passaggio 3.3.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sposta $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.3.3

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.3.3.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $\sin (x)$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti $\sin (x)$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $7 \sin (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 9 \sin (x)$ e $7 \sin (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

Passaggio 4.3

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

Passaggio 4.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.5

Sostituisci i valori $a = 6$ , $b = - 2$ e $c = - 3$ nella formula quadratica e risolvi per $\sin (x)$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.6

Semplifica.

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Passaggio 4.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.6.1.2.2

Moltiplica $- 24$ per $- 3$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.6.1.3

Somma $4$ e $72$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.6.1.4

Riscrivi $76$ come $2^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $76$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ .

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Calcola $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ .

$x = 1.10430054$

Passaggio 6.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Passaggio 6.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

Passaggio 6.4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Passaggio 6.4.3

Sottrai $1.10430054$ da $3.14159265$ .

$x = 2.0372921$

Passaggio 6.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Calcola $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ .

$x = - 0.59416431$

Passaggio 7.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Passaggio 7.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

Passaggio 7.4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Passaggio 7.4.3

Somma $3.14159265$ e $0.59416431$ .

$x = 3.73575697$

Passaggio 7.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Somma $2 π$ a $- 0.59416431$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.59416431 + 2 π$

Passaggio 7.6.2

Sottrai $0.59416431$ da $2 π$ .

$5.68902098$

Passaggio 7.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 5.68902098$

Passaggio 7.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$