Precalcolo Esempi

$9 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{9 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 2

Sostituisci $\cos (x)$ con un'espressione equivalente nel numeratore.

$9 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$(9 \cdot 1 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$(9 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (\frac{1}{\cos (x)}) - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2

$9$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $\cos (x)$ da $- 9 \cos (x)$ .

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Frazioni separate.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{9}{1} \cdot \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 7.3

Dividi $9$ per $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Frazioni separate.

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 10

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

Passaggio 11

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 12

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$9 \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 12.1.2

$9$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Passaggio 13

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.1

Semplifica $\sin (x) \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 13.1.2.1

$\sin (x)$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 13.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 13.1.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 13.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Passaggio 13.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 14

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{9}{\cos (x)} - 9) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 15

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 16.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 16.2

Riscrivi l'espressione.

$9 + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 17

Sposta $- 9$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$9 - 9 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 18

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 18.1

Elimina il fattore comune.

$9 - 9 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 18.2

Riscrivi l'espressione.

$9 - 9 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

Passaggio 19

Sottrai $\sin^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 - 9 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 20

Sostituisci $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ .

$9 - 9 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 21

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 21.1

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$9 - 9 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Passaggio 21.2

Semplifica $9 - 9 u - (1 - u^{2})$ .

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Passaggio 21.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 21.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 - 9 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Passaggio 21.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$9 - 9 u - 1 - - u^{2} = 0$

Passaggio 21.2.1.3

Moltiplica $- - u^{2}$ .

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Passaggio 21.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$9 - 9 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Passaggio 21.2.1.3.2

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$9 - 9 u - 1 + u^{2} = 0$

Passaggio 21.2.2

Sottrai $1$ da $9$ .

$- 9 u + 8 + u^{2} = 0$

Passaggio 21.3

Scomponi $- 9 u + 8 + u^{2}$ usando il metodo AC.

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Passaggio 21.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 8, - 1$

Passaggio 21.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Passaggio 21.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 21.5

Imposta $u - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 21.5.1

Imposta $u - 8$ uguale a $0$ .

$u - 8 = 0$

Passaggio 21.5.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 8$

Passaggio 21.6

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 21.6.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 21.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 21.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 8) (u - 1) = 0$ vera.

$u = 8, 1$

Passaggio 21.8

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 8, 1$

Passaggio 21.9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = 8$

$\cos (x) = 1$

Passaggio 21.10

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = 8$ .

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Passaggio 21.10.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $8$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 21.11

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = 1$ .

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Passaggio 21.11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 21.11.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 21.11.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 21.11.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 21.11.4

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 21.11.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 21.11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 21.11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 21.11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 21.11.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 21.11.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 21.12

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 21.13

Consolida le risposte.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$