Precalcolo Esempi

$\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{3}$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{12}$

Passaggio 3.6.3

Somma $4 π$ e $3 π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

Passaggio 5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{7 π}{12}$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 3 \frac{7 π}{12}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$x = 3 \frac{7 π}{3 (4)}$

Passaggio 5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 3 \frac{7 π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 7.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 7.1.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 7.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $\frac{5 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2.3

Per scrivere $\frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $\frac{5 π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 7.2.4.3

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.2.4.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Passaggio 7.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x}{3} = \frac{5 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Passaggio 7.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + π \cdot 3}{12}$

Passaggio 7.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{20 π + 3 \cdot π}{12}$

Passaggio 7.2.6.3

Somma $20 π$ e $3 π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{23 π}{12}$

Passaggio 7.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

Passaggio 7.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{23 π}{12}$

Passaggio 7.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 3 \frac{23 π}{12}$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$x = 3 \frac{23 π}{3 (4)}$

Passaggio 7.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 3 \frac{23 π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{23 π}{4}$

Passaggio 8

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{3}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{3}$ corrisponde approssimativamente a $0.\overline{3}$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 3$

Passaggio 8.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 π$

Passaggio 9

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$ è $6 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $6 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{4} + 6 π n, \frac{23 π}{4} + 6 π n$ , per qualsiasi intero $n$